Математичне моделювання та обчислювальні методи

1. Поняття математичної моделі та основні вимоги. Сфери і особливості застосування математичного, машинного та натурного моделювання.
2. Класифікація математичних моделей і методи їх побудови.
3. Науковий, інженерний та промисловий експеримент як засіб побудови або уточнення математичної моделі досліджуваного об'єкту. Коректність і адекватність моделі.
4. Загальна схема та основні методи аналізу, структуризація даних і планування експериментів.
5. Обчислювальна складність задач і алгоритмів. Класи задач поліноміальної та експоненціальної складності.
6. Множини і операції над ними. Відображення. Класи множин. Впорядковані множини. Системи множин.
7. Опуклі множини, операції над ними га їх властивості. Теореми відокремлення.
8. Опуклі функції та їх властивості.
9. Метричні та топологічні простори. Збіжність. Повнота метричних просторів. Принцип стискаючих відображень. Компактність.
10. Звичайні диференціальні рівняння та системи. Задача Коші і крайова задача, існування та єдиність розв'язку.
Основні рівняння математичної фізики. Класифікація квазілінійних диференціальних рівнянь. Постановка основних крайових задач для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку.
12. Необхідні умови екстремуму. Правило множників Лагранжа.
13. Методи безумовної оптимізації диференційовних функцій в скінченновимірних просторах.
14. Методи умовної оптимізації диференційовних функцій в скінченновимірних просторах.
15. Методи недиференційовної оптимізації.
16. Методи дискретної та комбінаторної оптимізації.
17. Необхідні умови екстремуму в задачах математичного програмування. Теорема Куна-Таккера.
18. Задачі і методи лінійного програмування.
19. Задачі і методи динамічного програмування.
20. Задача оптимального керування. Проблема моментів в задачах оптимального керування.
21. Варіаційні нерівності та їх застосування в задачах оптимального керування.
22. Принцип максимуму Понтрягіна. Лінійні та нелінійні системи.
23. Задачі середньоквадратичного оцінювання.
24. Фільтр Кальмана-Б'юсі.
25. Проекційні методи розв'язування операторних рівнянь.
26. Ітераційні методи розв'язування операторних рівнянь.
27. Інтегральні перетворення в математичному моделюванні.
28. Стохастичннй експеримент. Алгебри та сігма-алгебри випадкових подій. Аксіоми теорії ймовірностей.
29. Випадкові величини, їх розподіли та щільності (приклади). Основні характеристики.
30. Вибірковий метод в статистиці. Задачі параметричного і непараметричного оцінювання. Довірчі інтервали для параметрів та випадкових величин. Нерівності Чебишева та Гауса.
31. Метод максимальної вірогідності.
32. Методи моментів та найменших квадратів. Моделі регресій.
33. Методи стохастичної оптимізації.34. Теореми розділення в задачах оптимального керування стохастичними системами.
35. Диференціальні ігри.
36. Моделі і методи масового обслуговування.
37. Математичні моделі прийняття рішень в умовах невизначеності.
38. Інтерполяція та екстраполяція функцій.
39. Сплайни, кубічні сплайни. Теореми про найкраще наближення.
40. Моделі та методи імітаційного моделювання. Подійний і процесійний підходи.
41. Скінченнорізницеві методи розв'язування диференціальних рівнянь. Чисельна стійкість різницевої схеми розв'язку.
42. Математичні моделі уявлення знань і маніпулювання ними в інженерії знань.
43. Принципи машинного моделювання і організація обчислень з допомогою ЕОМ. Процедурні мови та напрямки їх розвитку.
44. Технологія і техніка програмування (на основі мов ФОРТРАН, ПАСКАЛЬ, Сі чи Сі++). Типи даних. Оператори. Функції та процедури. Класи пам'яті. Введення — виведення даних.Структури даних (списки, стеки і черги, масиви, множини, таблиці, дерева, графи). Пошук в лінійних списках. Задача вибору. Дерева бінарного пошуку. Робота з файлами (доступ, обробка, сортування файлів). Інструментальні засоби програмування. Поняття про інтегроване середовище і його можливості (на прикладі Borland Pascal чи Borland C++).
45. Принципи об'єктно-орієнтованого програмування. Класи, об'єкти, відношення.
46. Програмне забезпечення ПК.Операційні системи (MS-DOS, WINDOWS-95, OS/2 чи UNIX). Текстові редактори (Lexicon, Tex чи Word). Графічні редактори (PointBrush чи CorelDraw). Системи управління базами даних (FoxBase, FoxPro чи Paradox).
47. Інтегровані програмні засоби (пакети прикладних програм, «Математика», MATCAD тощо, системи підтримки прийняття рішень, експертні системи).

Основна література
1. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей—М.; ИФ «Физико-математическая литература», 1994. 192 с.
2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.— М.; Наука, 1981. 420 с.
3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1982. 380 с.
4. Коллац Л. Функциональный анализ и вычислительная математика— М.: Мир, 1969, 385 с.
5. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1980, 420 с.
6. Бейко И. В., Бублик Б. Н., Зинько II. Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации.— К.: Вища школа, 1983, 512 с.
7. Тихонов Л. П., Самарский Л. Л. Уравнения математической физики. —М: Наука, 1977, 490 с.
8. Форсайт Дж. и др. Машинные методы математических вычислений М. — Мир, 1980, 428 с.
9. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Анализ данных на компьютере — М.: Имфо-М «Финансы и статистика», 1995, 385 с.
10. Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность.— М.: Мир. 1985, 524 с.
11. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем. — Искусство и наука. — М.: Мир, 1978, 318 с.
12. Ермольев Ю. М., Ляшко И. И., Михалевич В. С, Тюнтя В. И. Математические методы исследований операций.— К.: Вища школа, 1979, 281 с.
13. Ермольев Ю. М. Методы стохастического программирования. М.: — Наука, 1976, 312 с.
14. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач — М.: Наука, 1981, 298 с.
15. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. M. Численные методы в экстре-мальных задачах. — М.: Наука, 1975, 340 с.
16. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972, 315 с.
17. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического про-граммирования. — М.: Наука, 1987, 402 с.
18. Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г., Гамкрелидзе P. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Наука, 1969. 490 с.
19. Шор Н. 3. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения.— К.: Наукова думка, 1979, 315 с.
20. Сергиенко И. В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации.— К.: Наукова думка, 1985, 318 с.
21. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука, 1974, 480 с.
22. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989, 512 с.
23. Зелковец М., Шоу Л., Геннон Дж. Принципы разработки программного обеспечения.— М.: Мир, 1982, 315 с.
24. Шлеер С., Меллер С. Объектно-ориентированный анализ. Моделирование мира в состояниях,— К.: Диалектика, 1993, 240 с.
25. Мартин Дж. Организация баз данных в вычислительных системах. — М.: Мир, 1978, 615 с.
26. Представление и использование знаний (X. Уэно, Г. Кояма и др.) пер. с японск. — М.: Мир. 1989, 312 с.
38. Енциклопедія кібернетики у 2-х т. — К.: Енциклопедія, 1974.
39. Бублік Б. М., Кіріченко М. Ф. Основи теорії керування. – К. Вища школа, 1975 р.

Додаткова література
1. Кузьмичев Д. А., Радкевич И. А., Смирнов А. Д. Автоматизация экспериментальных исследований: Учебное пособие для вузов — М.: Наука, 1983, 302 с.
2. Рисс Ф, Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир. 1979, 360 с.
3. Владимиров В. С. Уравнения математической физики — М.: Наука, 1988. 402 с.
4. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.— Харків: Вища школа, 1977, 390 с.
5. Ермаков С. И., Жиглявский А. А. Математическая теория оптимального эксперимента.— М.: Наука, 1987, 398 с.
6. Горский В. Г., Адлер Ю. П., Талалай А. М. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики).— М.: Металлургия, 1987, 112с.
7. Цвиркун А. Д. и др. Имитационное моделирование в задачах синтеза структуры сложных систем: оптимизационно-имитационный подход.— М.: Наука, 1985, 174 с.
9. Цикритзис Д., Лоховский Ф. Модели данных,— М; Финансы и статистика, 1985. 344 с.
10. Дейт К. Введение в системы баз данных. — М.: Наука, 1980. 442с.
11. Довгаль С. Н, Литвинов Б. Ю., Сбитнев А. И. Персональные ЭВМ: Турбо Паскаль U.0.0. Объектное программирование. Локальные сети. Уч. пособ. — К.: Информсистема сервис, 1993, 430 с.

Програма розроблена авторським колективом у складі: доктор фізико- математичних наук, професор С. І. Ляшко, доктор фізико-математичних наук, професор О. Г. Наконечний (Київський державний університет ім. Тараса Шевченка), доктор фізико-математичних наук, професор І. Б. Сіроджа (Харківський авіаційний інститут). Програма погоджена з науково-методичною комісією Міністерства освіти України. ЗАТВЕРДЖЕНА ВАК України та Атестаційною колегією Міністерства освіти України 25.06.1998 р. № 3/9—2/3.